Na álgebra linear, um vetor de coordenadas é a representação de um vetor como uma lista ordenada de números (uma tupla) que descreve o vetor em termos de uma base ordenada particular. Um exemplo simples pode ser uma posição como (5, 2, 1) em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, tendo como base os eixos desse sistema. As coordenadas são sempre especificadas em relação a uma base ordenada. As bases e suas representações de coordenadas associadas permitem realizar espaços vetoriais e transformações lineares concretamente como vetores coluna, vetores linha e matrizes; portanto, são úteis em cálculos. A ideia de um vetor de coordenadas também pode ser usada para espaços vetoriais de dimensão infinita, como abordado abaixo.
Definição Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo F e seja
B = {
b
1
,
b
2
, ... ,
b
n
}
{\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}
uma base ordenada para V. Então, para todo
v ∈ V
{\displaystyle v\in V}
, existe uma única combinação linear dos vetores da base que é igual a
v
{\displaystyle v}
:
v =
α
1
b
1
+
α
2
b
2
+ ⋯ +
α
n
b
n
.
{\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}
O vetor de coordenadas de
v
{\displaystyle v}
em relação a B é a sequência de coordenadas
[ v
]
B
= (
α
1
,
α
2
, ... ,
α
n
) .
{\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}
Isso também é chamado de representação de
v
{\displaystyle v}
em relação a B, ou representação B de
v
{\displaystyle v}
. Os
α
1
,
α
2
, ... ,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}
são chamados de coordenadas de
v
{\displaystyle v}
. A ordem da base se torna importante aqui, pois determina a ordem em que os coeficientes são listados no vetor de coordenadas. Vetores de coordenadas de espaços vetoriais de dimensão finita podem ser representados por matrizes como vetores coluna ou vetores linha. Na notação acima, pode-se escrever
[ v
]
B
=
[
α
1
⋮
α
n
]
{\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}
e
[ v
]
B
T
=
[
α
1
α
2
⋯
α
n
]
{\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}
onde
[ v
]
B
T
{\displaystyle [v]_{B}^{T}}
é a transposta da matriz
[ v
]
B
{\displaystyle [v]_{B}}
.
A representação padrão Podemos mecanizar a transformação acima definindo uma função
φ
B
{\displaystyle \phi _{B}}
, chamada de representação padrão de V em relação a B, que leva todo vetor à sua representação de coordenadas:
φ
B
( v ) = [ v
]
B
{\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}
. Então
φ
B
{\displaystyle \phi _{B}}
é uma transformação linear de V para Fn. De fato, é um isomorfismo, e sua inversa
φ
B
− 1
:
F
n
→ V
{\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}
é simplesmente
φ
B
− 1
(
α
1
, ... ,
α
n
) =
α
1
b
1
+ ⋯ +
α
n
b
n
.
{\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}
Alternativamente, poderíamos ter definido
φ
B
− 1
{\displaystyle \phi _{B}^{-1}}
como a função acima desde o início, percebido que
φ
B
− 1
{\displaystyle \phi _{B}^{-1}}
é um isomorfismo e definido
φ
B
{\displaystyle \phi _{B}}
como sua inversa.
Exemplos
Exemplo 1 Seja
P
3
{\displaystyle P_{3}}
o espaço de todos os polinômios algébricos de grau no máximo 3 (ou seja, o maior expoente de x pode ser 3). Este espaço é linear e gerado pelos seguintes polinômios:
B
P
=
{
1 , x ,
x
2
,
x
3
}
{\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}
correspondendo a
1 :=
[
1
0
0
0
]
;
x :=
[
0
1
0
0
]
;
x
2
:=
[
0
0
1
0
]
;
x
3
:=
[
0
0
0
1
]
{\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}
então o vetor de coordenadas correspondente ao polinômio
p
( x )
=
a
0
+
a
1
x +
a
2
x
2
+
a
3
x
3
{\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}
é
[
a
0
a
1
a
2
a
3
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}
De acordo com essa representação, o operador de diferenciação d/dx, que denotaremos por D, será representado pela seguinte matriz:
D p ( x ) =
P ′
( x ) ;
[ D ] =
[
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
]
{\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}
Usando esse método, é fácil explorar as propriedades do operador, tais como: invertibilidade, ser hermitiana ou anti-hermitiana ou nenhuma das duas, espectro e autovalores, e muito mais.
Exemplo 2 As matrizes de Pauli, que representam o operador de spin ao transformar os autoestados de spin em coordenadas de vetor.
Matriz de transformação de base Sejam B e C duas bases diferentes de um espaço vetorial V, e denotemos por
[ M
]
C
B
{\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}
a matriz cujas colunas consistem na representação em C dos vetores de base b1, b2, ..., bn:
[ M
]
C
B
=
[
[
b
1
]
C
⋯
[
b
n
]
C
]
{\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}
Esta matriz é referida como a matriz de transformação de base de B para C. Ela pode ser considerada um automorfismo sobre
F
n
{\displaystyle F^{n}}
. Qualquer vetor v representado em B pode ser transformado para uma representação em C da seguinte forma:
[ v
]
C
= [ M
]
C
B
[ v
]
B
.
{\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}
Sob a transformação de base, o sobrescrito na matriz de transformação, M, e o subscrito no vetor de coordenadas, v, são os mesmos e aparentemente se cancelam, deixando o subscrito restante. Embora isso possa servir como um auxiliar de memória, é importante notar que nenhum cancelamento desse tipo, ou operação matemática semelhante, está ocorrendo.
Corolário A matriz M é uma matriz invertível e M−1 é a matriz de transformação de base de C para B. Em outras palavras,
Id
= [ M
]
C
B
[ M
]
B
C
= [ M
]
C
C
= [ M
]
B
C
[ M
]
C
B
= [ M
]
B
B
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}
Espaços vetoriais de dimensão infinita Suponha que V seja um espaço vetorial de dimensão infinita sobre um corpo F. Se a dimensão for κ, então existe alguma base de κ elementos para V. Após a escolha de uma ordem, a base pode ser considerada uma base ordenada. Os elementos de V são combinações lineares finitas de elementos na base, que dão origem a representações de coordenadas únicas, exatamente como descrito antes. A única mudança é que o conjunto de indexação para as coordenadas não é finito. Como um dado vetor v é uma combinação linear finita de elementos da base, as únicas entradas não nulas do vetor de coordenadas para v serão os coeficientes não nulos da combinação linear que representa v. Assim, o vetor de coordenadas para v é zero, exceto em um número finito de entradas. As transformações lineares entre espaços vetoriais (possivelmente) de dimensão infinita podem ser modeladas, analogamente ao caso de dimensão finita, com matrizes infinitas. O caso especial das transformações de V em V é descrito no artigo anel linear completo.
Ver também Mudança de base Espaço de coordenadas
Referências